ՍԿԻԶԲ ԱՐԽԻՎ ԽՈՐԱԳԻՐ
 
ԴՊԻՐ 49
ՄԱՍՆԱԳԻՏԱԿԱՆ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄ

Ուսումնական բնագավառներ

Մեթոդական մշակումներ

Жанна Акопян
Не бойтесь ошибиться или на ошибках учатся


Մեդիակրթության առանցքային տեսությունները

Ուսումնական նյութեր

Հայկազ Մարգարյան
Մասնագիտությունը՝ դահիճ

Ռիչարդ Ֆեյնման
Շարժման նկարագրությունը [1]

Պաուլո Կոելիո
Լույսի զինվորի գիրքը

Ծիսական տոնացույց

Աշոտ Բլեյան
Ինչ արժեք ունի խոսքը, եթե այն գործ չի դառնալու

ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ՄՈՏԵՑՈՒՄՆԵՐ

Մարիա Մոնտեսորի
Երեխայի տունը

Պաոլո Ֆրերե
Ճնշվածների մանկավարժություն

Ալեքսանդր Ադամսկի
Ի՞նչն է դպրոցում ավելի շատ` անցյա՞լը, թե՞ ապագան

Մարիա Մոնտեսորի
Ինքնադաստիարակությունը և ինքնուսուցումը կրտսեր դպրոցում

ՏԱՐԲԵՐ ԵՐԿՐՆԵՐԻ ԴՊՐՈՑՆԵՐԸ

Անատոլի Գին
Ինչպե՞ս տնային առաջադրանքներն առավելագույնս օգտակար դարձնենք

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ԴՊՐՈՑՆԵՐԸ

ՓՈՔՐԵՐՆ ՈՒ ՄԵԾԵՐԸ (մանկավարժական ակումբ)

Կոնստանտին Շերեմետև
Ճանապարհ դեպի երջանկություն

ԱՐՁԱԳԱՆՔ
Շարժման նկարագրությունը [1]

Միջին և ավագ դպրոցի սովորողներին, դասվարներին, այն մարդկանց, ովքեր կարծում են, թե «արագություն» հասկացությունը պարզ բան է,և այն մարդկանց, ովքեր կարծում են, թե «արագություն» հասկացությունը բարդ բան է:


Ժամանակի ընթացքում տեղի ունեցող տարբեր փոփոխությունները ղեկավարող օրենքները գտնելու համար սկզբում պետք է նկարագրենք այդ երևույթները և դրանք գրառելու ինչ-որ ձև մտածենք: Սկսենք մարմնի հետ տեղի ունեցող ամենապարզ փոփոխությունից` տարածության մեջ նրա դիրքի փոփոխությունից, այսինքն՝ նրանից, ինչը անվանում ենք շարժում: Դիտարկենք շարժվող առարկա, որի վրա փոքրիկ նշան ենք արել. այն անվանենք կետ: Կարևոր չէ` դա ավտոմեքենայի հովացուցիչի ծայրն է, թե ընկնող գնդի կենտրոնը: Կփորձենք նկարագրել այն փաստը, որ նա շարժվում է, և թե ինչպես է դա տեղի ունենում:

Առաջին հայացքից դա շատ պարզ է թվում, բայց փոփոխությունների նկարագրությունը շատ նրբություններ ունի: Որոշ փոփոխությունները նկարագրելն ավելի բարդ է, քան պինդ մարմնի կետի շարժումը նկարագրելը: Օրինակ` ինչպե՞ս նկարագրենք ամպի շարժումը, որը ոչ միայն դանդաղ շարժվում է, այլ նաև փոփոխում է իր տեսքը կամ գոլորշանում է: Կամ ինչպե՞ս նկարագրենք կանացի մտքի քմահաճույքները: Չնայած, քանի որ ամպի փոփոխությունները, գոնե սկզբունքորեն, կարելի է նկարագրել նրա բոլոր մոլեկուլների շարժումը նկարագրելու միջոցով, ուրեմն մտքերի փոփոխություններն էլ, շատ հնարավոր է, պայմանավորված են ուղեղի ատոմների շարժումներով, չնայած դրանք նկարագրելու հեշտ եղանակ դեռ չգիտենք:

Այդ պատճառով էլ սկսենք կետերի շարժումից: Թերևս, դեռ կարելի է այդ կետերը ատոմներ համարել, բայց սկզբում, հավանաբար, ավելի լավ է ճշգրտության ետևից չընկնենք, այլ ուղղակի պատկերացնենք կետը, որպես մի փոքրիկ օբյեկտ, փոքր` այն հեռավորության համեմատ, որը նա անցնում է: Օրինակ, եթե ասում ենք, որ ավտոմեքենան անցել է 100 կմ, ապա ի՞նչ տարբերություն` նկատի ունենք նրա շարժի՞չը, թե՞ բեռնախցիկը: Իհարկե, փոքրիկ տարբերություն կա, բայց սովորաբար ասում ենք «ավտոմեքենա» և այն, որ դա բացարձակ կետ չէ, ոչ մի նշանակություն չունի: Մեր նպատակների համար բացարձակ ճշգրտություն պետք չէ: Պարզության նկատառումներով ժամանակավորապես մոռանանք, որ մեր աշխարհը եռաչափ է, և մեր ուշադրությունը կենտրոնացնենք մի ուղղությամբ շարժման վրա (ավտոմեքենան շարժվում է ուղիղ ճանապարհով): Մենք դեռ կվերադառնանք եռաչափին, երբ հասկանանք, թե ինչպես է նկարագրվում միաչափ շարժումը: Հավանաբար կասեք, թե դա տրիվիալ է: Իսկապես, այդպես է: Ինչպե՞ս նկարագրենք միաչափ շարժումը, օրինակ` ավտոմեքենայի շարժումը: Դա պարզից էլ պարզ է: Ներկայացնեմ հնարավոր շատ ձևերից մեկը: Ժամանակի տարբեր պահերին ավտոմեքենայի դիրքը որոշելու համար չափենք նրա հեռավորությունը սկզբնական կետից և գրառենք մեր դիտարկումները: 8.1 աղյուսակում s-ը նշանակում է ավտոմեքենայի հեռավորությունը սկզբնական կետից` մետրերով, իսկ t-ն` ժամանակն է` րոպեներով:

Աղյուսակ 8.1  Ավտոմեքենայի շարժման չվացուցակը

t-ն րոպեներով

s-ը մետրերով

t-ն րոպեներով

s-ը մետրերով

0

0

5

3150

1

380

6

4050

2

1350

7

5550

3

2550

8

7050

4

2850

9

7500

Առաջին տողը ժամանակի զրոյական պահն է, և հեռավորությունն էլ զրո է: Ավտոմեքենան շարժումը դեռ չի սկսել: Շարժումը սկսելուց մեկ րոպե հետո անցել է 380մ: Երկու րոպե հետո նա շարունակում է շարժվել: Նկատի ունեցեք, որ երկրոդ րոպեի ընթացքում ավելի շատ ճանապարհ է կտրել, քան առաջին. ավտոմեքենան արագացնում է շարժումը, բայց երրորդ և չորրորդ րոպեների միջև ինչ-որ բան է պատահել, դեռ ավելին՝ հինգերորդ րոպեին նա կանգնել է: Հավանաբար՝ լուսակրի մոտ, որովհետև հետո նորից արագություն է հավաքում և վեցերորդ րոպեի վերջում անցնում 4050մ, յոթերորդ րոպեի վերջում` 5550, իսկ ութերորդի վերջում` 7050: Բայց իններորդ րոպեի ընթացքում նորից ինչ-որ բան է պատահել. ավտոմեքենան անցել է ընդամենը 450մ և կանգ է առել: Վարորդը երթևեկության կանոններն է խախտել, և ոստիկանը կանգնեցրել է:

Սա շարժումը նկարագրելու եղանակներից մեկն է: Կա և ուրիշ եղանակ` գրաֆիկական: Եթե հորիզոնական ուղղությամբ տեղադրենք ժամանակը, իսկ ուղղաձիգ ուղղությամբ` հեռավորությունը, ապա կստանանք 8.1 նկարում պատկերված կորը:

 
Նկար 8.1. Մեքենայի անցած ճանապարհի՝ժամանակից կախվածության գրաֆիկը:

Նկարից երևում է, որ ժամանակի մեծացմանը զուգընթաց հեռավորությունը նույնպես մեծանում է, սկզբում դանդաղ, իսկ հետո ավելի ու ավելի արագ: Չորրորդ րոպեի շրջանում դանդաղում է, իսկ հետո հեռավորությունը նորից մի քանի րոպե մեծանում է, մինչև վերջապես մեքենան կանգ է առնում: Այս բոլոր տվյալները կարելի է ստանալ ուղղակի գրաֆիկից` առանց աղյուսակին դիմելու: Իհարկե, մեր գրաֆիկը կառուցելու համար անհրաժեշտ է իմանալ, թե որտեղ է ավտոմեքենան ոչ միայն յուրաքանչյուր րոպեին, այլ յուրաքանչյուր կես րոպեն մեկ, իսկ կարող է պատահել՝ նաև ավելի ճշգրիտ: Բացի դրանից, ենթադրում ենք, որ մեքենան ժամանակի ցանկացած պահի ինչ-որ տեղում է:

Այնպես որ ավտոմեքենայի շարժումը բարդ տեսք ունի: Եկեք ավելի պարզ դեպք դիտարկենք` շարժման ավելի պարզ օրենքով. օրինակ` ընկնող գնդիկը: 8.2 աղյուսակում ժամանակի արժեքները տրված են վայրկյաններով, իսկ հեռավորությունը` մետրերով:

Աղյուսակ 8.2 Ընկնող մարմնի շարժման չվացուցակը

t,վրկ.

s, մ

0

0

1

5

2

20

3

45

4

80

5

125

6

180

Ընկնելը սկսելու առաջին վայրկյանի ընթացքում գնդիկն անցնում է 5մ, երկու վայրկյանում` 20մ, երեք վայրկյանում` 45մ: Եթե այդ թվերը տեղադրենք գրաֆիկի վրա, ապա կստանանք ընկնող մարմնի հեռավորության` ժամանակից կախվածության պարաբոլիկ կորը (նկար 8.2), որը նկարագրվում է հետևյալ բանաձևով՝ s = 5t2 (8.1)։

Այս բանաձևը թույլատրում է հաշվել հեռավորությունը ժամանակի ցանկացած պահի համար:

Նկարում` ընկնող գնդի անցած հեռավորության ժամանակից ունեցած հեռավորության կախվածությունը

Կասեք, որ առաջին գրաֆիկի համար էլ (տե´ս նկար 8.1) պետք է ինչ-որ բանաձև գոյություն ունենա: Իսկապես այդպես է: Այն կարելի գրել մի այսպիսի վերացարկման տեսքով՝ s=f(t) (8.2)։

Սա նշանակում է, որ s մեծությունը կախված է t-ից, կամ, ինչպես մաթեմատիկոսներն են ասում, s-ը ֆունկցիա է t-ից: Սակայն մենք չգիտենք, թե դա ինչ ֆունկցիա է, ավելի ճիշտ՝ չենք կարող գրել մեզ ծանոթ ֆունկցիաների միջոցով:
Այս երկու օրինակներից երևում է, որ ցանկացած շարժում կարելի է նկարագրել ընդհանուր և պարզ եղանակներով: Թվում է, թե ոչ մի նրբություն չկա: Բայց նրբություն կա, և մեկը չէ: Առաջին՝ ի՞նչ ենք հասկանում «տարածություն» և «ժամանակ» ասելով: Սրանք, պարզվում է, շատ խորը փիլիսոփայական հարցեր են, որոնք պետք է ուշադրությամբ վերլուծել, ինչը այդքան էլ հեշտ չէ: Հարաբերականության տեսությունը ցույց է տալիս, որ տարածության և ժամանակի հարցերը այդքան էլ պարզ չեն, ինչպես դա թվում է առաջին հայացքից: Սակայն սկզբի համար այդ հասկացությունների այդպիսի մանրակրկիտ սահմանում մեզ պետք չէ: Հնարավոր է, որ ասեք. «Տարօրինակ է, միշտ ասում են, որ գիտության մեջ ամեն ինչ պետք է ճշգրտորեն սահմանել»: Այդպես չէ: Մենք չենք կարող ամեն ինչ, առանց բացառության, ճշգրտորեն սահմանել: Եթե փորձեինք դա անել, կստացվեր երկու փիլիսոփաների վեճի նման մի բան, երբ մեկն ասում է. «Դուք էլ չգիտեք, թե ինչ եք ասում», իսկ երկրորդը պատասխանում է. «Իսկ ի՞նչ է նշանակում «գիտենալ»: Ի՞նչ է նշանակում «ասել»: Վերջապես ի՞նչ է նշանակում «դուք»»: Եվ այդպես՝ անվերջ: Այնպես որ, գործի շահերից ելնելով, ավելի լավ է հիմա պայմանավորվենք, գոնե մոտավորապես, ինչ ենք ասելու միևնույն իրերի մասին: Հիմա բավականին գիտեք ժամանակի մասին, բայց հիշեք, որ այս հարցում նրբություններ կան, որոնք մենք կքննարկենք հետագայում:

Մյուս նրբությունը (այս մասին արդեն նշել ենք)՝ ճի՞շտ է կարծել, որ դիտարկվող կետը միշտ ինչ-որ որոշակի տեղում է (այսինքն՝ տեղայնացված է): Իհարկե, երբ դիտարկում ենք նրան, նա որոշակի տեղում է, բայց արդյոք կարո՞ղ ենք դա պնդել այն պահերի համար, երբ չենք նայում: Եվ պարզվում, որ ատոմների շարժումը ուսումնասիրելիս այդպես մտածել չի կարելի: Հնարավոր չէ, ատոմը պիտակավորել և հետևել նրա շարժմանը: Այս նրբությանը կհանդիպենք քվանտային մեխանիկայում: Բայց սկզբում եկեք քննարկենք այն դժվարությունները, որոնք առաջանում են նախքան այդ բարդությունները, իսկ դրանից հետո հաշվի կառնենք այն ուղղումները, որոնք մեզ պարտադրում են բնության մասին նոր տեղեկությունները: Այսպիսով, տարածության և ժամանակի մասին կընդունենք ամենապարզ պատկերացումը: Մոտավորապես հասկանում ենք, թե ինչ են նշանակում այդ հասկացությունները, իսկ ում հարկ է եղել մեքենա վարել, գիտի, թե ինչ է արագությունը:

Արագություն

Չնայած, որ մոտավորապես պատկերացնում ենք, թե ինչ է արագությունը, բայց այստեղ մի կարևոր նրբություն կա: Նկատի ունեցեք, որ հին հույները այդպես էլ չկարողացան մինչև վերջ հասկանալ արագության խնդիրը: Նրբությունը, որի մասին խոսում ենք, իրեն զգալ է տալիս, երբ փորձում ես ճշգրիտ սահմանել, թե ինչ է նշանակում «արագություն» հասկացությունը: Այս հարցը հին հույների փորձաքարն էր, և անհրաժեշտ եղավ բացի երկրաչափությունից և հանրահաշվից, որոնք հայտնի էին և' հույներին, և' արաբներին, և' բաբելոնացիներին, հայտնագործել մաթեմատիկայի նոր բնագավառ: Փորձեք միայն հանրահաշվի օգնությամբ լուծել հետևյալ խնդիրը: Փուչիկը այնպես են փչում, որ նրա ծավալը մեծանում է 100սմ3/վրկ: Ի՞նչ արագությամբ կմեծանա նրա շառավիղը, երբ փուչիկի ծավալը դառնա 1000սմ3: Այս տիպի խնդիրները հին հույների համար անլուծելի էին: Դրանից բացի, նրանց բազմաթիվ պարադոքսներ էին շփոթեցնում: Ահա դրանցից մեկը, որը հորինել էր Զենոնը, և որը շատ լավ ցույց է տալիս, թե այն ժամանակ որքան բարդ էր շարժման արագության հարցը: «Ենթադրենք,- ասում էր նա,- որ Աքիլեսը կրիայից տասն անգամ արագ է վազում: Բայց միևնույն է, նա երբեք չի անցնի կրիայից: Իսկապես, դիցուք մրցման սկզբում կրիան Աքիլեսից առաջ է 100մ: Այն ժամանակ, երբ Աքիլեսը կվազի այդ 100 մետրը, կրիան նրանից առաջ կլինի 10մ: Անցնելով այդ 10 մետրը՝ Աքիլեսը կրիային կտեսնի իրենից 1մ հեռավորության վրա: Այն ժամանակահատվածում, երբ նա կանցնի այդ 1 մետրը, կրիան կանցնի 10սմ և այդպես շարունակ… մինչև անվերջություն: Հետևաբար ժամանակի ցանկացած պահի կրիան կլինի Աքիլեսից առաջ, և նա երբեք չի կարող կրիայից առաջ անցնել»: Այստեղ ո՞րն է սխալը: Վերջավոր ժամանակահատվածը կարելի է բաժանել անվերջ թվով մասերի ճիշտ այնպես, ինչպես վերջավոր հատվածը, եթե այն հաջորդաբար կիսենք: Բայց անվերջ թվով փուլերը մինչև այնտեղ, որտեղ Աքիլեսը կհավասարվի կրիային, ամենևին չի նշանակում անվերջ մեծ ժամանակ: Այս օրինակը լավ ցույց է տալիս, թե ինչպիսի դժվարությունների էին հանդիպում արագության սահմանման հարցում:

Որպեսզի ավելի լավ պատկերացնենք այս դժվարությունները, հիշենք մի հին կատակ, որը հավանաբար լսել եք: Հիշում եք, որ ավտոմեքենան, որի մասին դասախոսության սկզբում խոսում էինք, ոստիկանը կանգնեցրել էր: Նա մոտենում է մեքենային և ասում. «Տիկին (քանի որ մեքենայի ղեկին կին էր),Դուք խախտել եք փողոցային երթևեկության կանոնները: Գնում էիք ժամում 90կմ արագությամբ»: Կինը պատասխանում է.«Ներեցեք, դա անհնար է: Ինչպե՞ս ես կարող եմ ժամում 90կմ անցնել, երբ ընդամենը 7 րոպե եմ շարժվում»: Ի՞նչ կպատասխանեիք ոստիկանի փոխարեն: Իհարկե, եթե լավ ոստիկան եք, այդպիսի խորամանկություններով ձեզ չեն խճճի: Վստահաբար կասեիք. «Տիկին, դատավորի առաջ կարդարանաք»: Բայց, ենթադրենք, որ այդպիսի հնարավորություն չունեք: Դուք ցանկանում եք ազնվորեն ապացուցել կարգազանցի մեղքը և փորձում եք նրան բացատրել, թե ինչ է նշանակում 90կմ/ժ արագությունը: Ինչպե՞ս անեք: Կասեք. «Նկատի ունեի, տիկին, որ եթե շարունակեիք գնալ այդպես, ապա մեկ ժամվա ընթացքում կանցնեիք 90կմ»: «Այո, բայց ես արգելակեցի և կանգնեցրեցի մեքենան,- կարող է պատասխանել նա,-այնպես, որ հիմա ես ոչ մի կերպ չեմ կարող մեկ ժամում 90կմ անցնել»:
Նմանօրինակ դժվարություն առաջանում է նաև ընկնող գնդիկի դեպքում: Ենթադրենք` ցանկանում ենք որոշել նրա արագությունը 3վրկ հետո, եթե նույն կերպ շարժվեր: Սակայն իսկ ի՞նչ է նշանակում «նույն կերպ շաժվեր»: Պահպաներ արագացո՞ւմը, ավելի արա՞գ շարժվեր, ինչ է: Իհարկե, ոչ: Պահպաներ նույն արգությունը: Բայց դա հենց այն է, ինչը ցանկանում ենք որոշել: Եթե գնդիկը շարունակեր «նույն կերպ» շարժվել, ապա նա պետք ընկներ այնպես, ինչպես ընկնում էր: Այնպես, որ պետք է արագությունը սահմանելու համար ավելի լավ բան մտածել: Այնուամենայնիվ, ի՞նչը պետք է պահպանվի: Կարգազանց կինը կարող էր նաև այսպես պատասխանել. «Եթե ես շարունակեի էլի մեկ ժամ գնալ այնպես, ինչպես գնում էի, ապա կբախվեի փողոցի վերջի պատին»: Մի խոսքով, ինչպես տեսնում եք, ոստիկանը կհայտնվեր շատ դժվար վիճակում` փորձելով բացատրել, թե ինքը ինչ նկատի ուներ»:

Ֆիզիկոսներից շատերը մտածում են, որ ցանկացած մեծություն որոշելու միակ եղանակը նրա չափումն է: Բայց այդ դեպքում բացատրության համար դուք պետք է դիմեք արագություն չափող գործիքին: «Տեսեք,- այդ դեպքում կասեիք դուք,- ձեր արագաչափը 60 է ցույց տալիս»: «Իմ արագաչափը փչացած է և վաղուց չի աշխատում»,- կպատասխանի նա: Բայց դա բավարա՞ր է, որ հավատանք, թե մեքենան չի շարժվում: Ենթադրում ենք, որ ինչ-որ կերպ էլ կարելի է որոշել արագությունը, առանց արագաչափի օգնությանը դիմելու: Միայն այս պայմաններում կարելի է ասել, որ արագաչափը չի աշխատում, որ այն փչացած է: Անհեթեթություն կլիներ, որ արագությունը իմաստ չունենար առանց արագաչափի: Ակնհայտ է, որ «արագություն» հասկացությունը արագաչափից կախված չէ: Արագաչափը պետք է միայն այն չափելու համար: Տեսնենք` հնարարավոր չէ՞ ավելի լավ սահմանում գտնել «արագության» համար: Կասեիք. «Հասկանալի է, տիկին, եթե նույն ձևով շարունակեիք մեկ ժամ էլ շարժվել, ապա կբախվեիք պատին, բայց մեկ վայրկյանում կանցնեիք 25մ, ինչպես որ մեկ վայրկյանում անցել եք 25մ, եթե շարունակեիք նույն կերպ շարժվել, ապա հաջորդ վայրկյանում էլ կանցնեք 25մ, իսկ մինչև պատը շատ հեռու է»:. «Բայց կանոններն արգելում են ժամում 90կմ, այլ ոչ թե վայրկյանում 25մ անցնելը»: «Բայց դա նույնն է, ինչ որ ժամում 90կմ»,- կպատասխանեք: Իսկ եթե նույն բանն է, էլ ի՞նչ իմաստ ունեին այդ երկար պատմությունները 25մ/վրկ-ի մասին: Իրականում ընկնող գնդիկը չի կարող նույն ձևով շարժվել նույնիսկ մեկ վայրկյան, քանի որ շարժումն անընդհատ արագանում է, հետևաբար արագությունը պետք է ավելի ճշգրիտ սահմանել:

Իսկ հիմա, կարծես, ճիշտ ճանապարհին ենք, որը մեզ այ թե ուր կտանի: Եթե մեքենան շարունակեր նույն ձևով շարժվել ժամի հազարերորդ մասի ընթացքում, ապա նա կանցներ 90կմ-ի հազարերորդ մասը: Այլ կերպ ասած, ամբողջ ժամը նույն թափով շարժվելու անհրաժեշտություն չկա, բավական է մի պահը: Սա նշանակում է, որ ժամանակի ինչ-որ պահի մեքենան անցնում է այնքան ճանապարհ, որքան կանցնեի, եթե շարժվեի 90կմ/ժ հաստատուն արագությամբ: Մեր դատողությունները 25մ/վրկ-ի մասին, հնարավոր է, ճիշտ էին. չափում ենք, թե որքան ճանապարհ կանցնի մեքենան հաջորդ վայրկյանի ընթացքում, և եթե ստացվում է 25մ, ապա դա նշանակում է, որ արագությունը 90կմ/ժ է:

Այլ կերպ ասած, արագությունը կարելի է հետևյալ կերպ սահմանել: Որոշում ենք որևէ կարճ ժամանակահատվածում անցած ճանապարհը և այն բաժանելով ժամանակահատվածի երկարության վրա, ստանում ենք արագությունը: Սակայն այդ ժամանկահատվածը պետք է հնարավորին չափ փոքր լինի, և ինչքան փոքր, այնքան լավ, քանի որ այդ ընթացքում էլի փոփոխություններ կարող են լինել: Օրինակ, ընկնող մարմնի համար որպես այդպիսի ժամանակահատված մեկ ժամ ընդունելը ծիծաղելի է: Ավտոմեքենայի դեպքում մեկ վայրկյանի ընդունումը որպես այդպիսի ժամնակահատված, միգուցե հարմար է, քանի որ մեկ վայրկյանի ընթացքում նրա արագությունը շատ չի փոխվի, բայց այդ ժամանակահատվածը մեծ է ընկնող մարմնի համար: Այսպիսով, արագությունը ավելի ճշգրիտ սահմանելու համար, պետք է ժամանակի ավելի ու ավելի փոքր հատվածներ վերցնել: Եթե վայրկյանի մելիոներորդական մասին բաժանենք այդ ժամանակահատվածում անցած հեռավորությունը, ապա կստանանք հեռավորությունը վայրկյանի ընթացքում, այսինքն` հենց այն, ինչը հասկանում ենք արագություն ասելով: Հենց սա պետք է ասել մեր կարգազանցին, այսինքն` տալ արագության այն սահմանումը, որը կօգտագործենք:

Այսպիսի սահմանումը որոշակի նոր գաղափար է պարունակում, որն իր ընդհանուր ձևով անհասանելի էր հին հույներին:
Այդ գաղափարը հետևյալն է. փոքր հեռավորությունները բաժանենք համապատասխան ժամանակահատվածների վրա և տեսնենք, թե ինչ կկատարվի, եթե ժամանակի հատվածները ավելի ու ավելի փոքրացնենք (այլ կերպ ասած` գտնենք անցած հեռավորությոն և ժամանակահատվածի հարաբերության սահմանը, երբ ժամանակահատվածը անվերջ փոքրացնում ենք): Այս գաղափարը, որն առաջին անգամ, իրարից անկախ, արտահայտել են Նյուտոնը և Լայբնիցը, եղել է մաթեմատիկայում նոր բնագավառի` դիֆերենցիալ հաշվի հիմքը: Այն առաջացել է շարժումը նկարագրելու համար, և նրա առաջին կիրառությունը «Ի՞նչ է նշանակում 90կմ/ժ արագությունը» հարցին պատասխանելն է:

Հիմա փորձենք ավելի ճշգրիտ սահմանել արագությունը:

Դիցուք, որոշակի փոք ε ժամանակահատվածում մեքենան, կամ մեկ այլ մարմին անցել են փոքր х հեռավորություն. այդ դեպքում v արագությունը կորոշվի , ընդ որում ճշգրտությունը այնքան մեծ կլինի, որքան փոքր է ε-ը:

Մաթեմատիկոսները դա հետևյալ տեսքով են գրում` (8.3). այսինքն արագությունը հարաբերության սահմանն է, երբ ε-ը ձգտում է զրոյի: Մեր կարգազանց մեքենայի համար հնարավոր չէ արագությունը ճշգրիտ որոշել, քանի որ աղյուսակը լրիվ չէ: Նրա դիրքը մեզ հայտնի է միայն 1 րոպեանոց ժամանակահատվածների համար: Մոտավորապես, իհարկե, կարելի է ասել, որ յոթերորդ րոպեի ընթացքում նա գնացել է միջինը 90կմ/ժ արագությամբ, բայց շարժման վեցերորդ րոպեի վերջում նրա արագության մասին ոչինչ չենք կարող ասել: Հնարավոր է, որ նա արագացրել է և վեցերորդ րոպեի սկզբում ունեցած 40կմ/ժ արագությունը րոպեի վերջում դարձել է 90կմ/ժ, իսկ հնարավոր է, որ նա այլ կերպ է շարժվել: Դա ճշգրտորեն չգիտենք, քանի որ չունենք վեցերորդ և յոթերորդ րոպեների ընթացքում նրա շարժման մանարամասն գրառումները: Միայն այն դեպքում, երբ աղյուսակը լրացվի անվերջ թվով տվյալներով, նրա միջոցով կարող ենք հաշվել արագությունը: Սակայն, եթե մեզ հայտնի է մաթեմատիկական բանձևը, ինչպես, օրինակ, ընկնող մարմնի դեպքում (8.1 հավասարումը), կարող ենք հաշվել արագությունը: Բանաձևի միջոցով կարող ենք մարմնի դիրքը որոշել ժամանակի ցանկացած պահին:

Որպես օրինակ` եկեք գտնենք ընկնող գնդիկի արագությունը անկումը սկսելուց 5 վայրկյան հետո: Ձևերից մեկը 8.2 աղյուսակի միջոցով նայելն է, թե ինչ է կատարվում գնդիկին շարժման 5-րդ վայրկյանի ընթացքում: Այդ վայրկյանի ընթացքում նա անցել է 45մ, այնպես որ թվում է, թե նա ընկնում է 45մ/վրկ արագությամբ: Սակայն դա այդպես չէ, քանի որ արագությունն անընդհատ փոխվում է: Իհարկե, միջինում, դա վայրկյանի ընթացքում կազմել է 45մ/վրկ, բայց իրականում գնդիկը արագացել է, և հինգերորդ վայրկյանի վերջին գնդիկը ընկել է 45մ/վրկ-ից ավելի մեծ արագությամբ: Մեր խնդիրը արագությունն ավելի ճշգրիտ հաշվելն է: Դա կանենք հետևյալ եղանակով: Մեզ հայտնի է, թե որտեղ է գնդիկը 5 վայրկյան հետո: 5 վայրկյանում նա անցել է 125մ: 5,1 վայրկյանում գնդիկի անցած ընդհանուր հեռավորությունը, (8.1) հավասարման համաձայն, 130,05մ կլինի: Այսպիսով, վայրկյանի լրացուցիչ տասնորդական մասի ընթացքում նա կանցնի 5,05մ: Քանի որ 0,1վայրկյանի ընթացքւմ 5,05մ անցնելը նույնն է, ինչ որ 50,5մ/վրկ, ապա դա էլ կլինի նրա արագությունը: Սակայն սա էլ դեռ ամբողջովին ճիշտ չէ: Մեզ համար բոլորովին կարևոր չէ սա 5-րդ վայրկյանի, 5,1-րդ վայկյանի, թե դրանց միջև եղած ինչ-որ պահին արագությունն է: Մեր խնդիրն էր հաշվել արագությունը ուղիղ 5վրկ հետո, ինչը մենք դեռ չենք արել: Ստիպված ենք ճշտգրտությունը մեծացնել և դիտարկել 5վայրկյանից հազարերորդականով մեծ պահը, այսինքն` 5,001վրկ: Այդ ընթացքում անցած ամբողջ ճանապարհը կկազմի s=5*5,0012=5*25,01001=125,050005մ:

Հետևաբար վերջին հազարերորդական վայրկայնի ընթացքում գնդիկը կանցնի 0,050005մ, և եթե դա բաժանենք 0,001վայրկյանի, ապա կստանանք 50,005մ/վրկ արագություն: Սա արդեն ավելի մոտ է, բայց սա էլ ճշգրիտ չէ: Բայց արդեն պարզ է, թե ինչպես վարվենք արագությունը ճշգրիտ գտնելու համար: Այս խնդիրն ավելի հարմար է լուծել մի քիչ ընդհանուր տեսքով: Դիցուք պետք է հաշվել արագությունը ժամանակի որևէ t0 պահի (օրինակ` 5 վայրկյան): Մինչև t0 պահը անցած հեռավորությունը (նշանակենք s0) կլինի 5t02 (մեր դեպքում 125մ):
Հեռավորությունը հաշվելու համար հարց կտանք` որտե՞ղ կլինի մարմինը t0+(փոքր ավելցուկ) կամ t0+ε ժամանակ հետո: Նոր դիրքը կլինի 5(t0+ ε)2=5t02+10t0 ε+5ε2 (Այս հեռավորությունն ավելի մեծ է, քան t0 ժամանակում անցած հեռավորությունը, այսինքն`5t02-ին): Այդ հեռավորությունը նշանակենք s0 + (փոքր ավելցուկ) կամ s0+x: Եթե դրանից հանենք այն հեռավորությունը, որը կանցնի մինչև t0 պահը, ապա կստանանք x-ը`այն լրացուցիչ հեռավորությունը, որը գնդիկը կանցնի լրացուցիչ ε ժամանակահատվածում, այսինքն` x =10t0 ε+5ε2: Այնպես, որ արագությունը առաջին մոտավորությամբ կլինի , (8.4)

Հիմա գիտենք, թե ինչ պետք է անենք ճիշտ t0 պահին արագությունը հաշվելու համար. պետք է ε ժամանակահատվածը վերցնենք ավելի ու ավելի փոքր, այսինքն` այն ձգտեցնենք զրոյի: Այսպիսով կստանանք`  v (t0 պահին) = 10 t0:

Մեր խնդրում t0=5 վրկ, հետևաբար, արագությունը կլինի v=10*5=50մ/վրկ: Սա էլ հենց փնտրվող պատասխանն է: Առաջ, երբ վերցնում էինք ε-ը հավասար 0,1վրկ և 0,001վրկ, ստանում էինք 50մ/վրկ.-ից մի փոքր մեծ արժեք, բայց հիմա տեսնում ենք, որ իրականում այն ճիշտ 50մ/վրկ է:

Ռուսերենից թարգմանեց Գևորգ Հակոբյանը

[1]Թարգմանված է Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сендс Феймановские лекции по физике, Москва, 1965, т.1 գրքից:

Բացվել է 255 անգամ
???????@Mail.ru ՍԿԻԶԲ | ԱՐԽԻՎ | ԽՈՐԱԳԻՐ | ԿԱՊ

© 2007-2010 «ՄԽԻԹԱՐ ՍԵԲԱՍՏԱՑԻ» ԿՐԹԱՀԱՄԱԼԻՐ