ՍԿԻԶԲ ԱՐԽԻՎ ԽՈՐԱԳԻՐ
 
ԴՊԻՐ 63
ՄԱՍՆԱԳԻՏԱԿԱՆ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄ

Ուսումնական բնագավառներ

Անրի Պուանկարե
Մաթեմատիկական ստեղծագործություն [1]

Մեթոդական մշակումներ

Հասմիկ Ղազարյան
Դասի արդյունավետության մասին

Լուսինե Ալեքսանյան
Սոցիալական ցանցը` որպես սոցիալական աշխատողի արդյունավետ գործիք

Ուսումնական նյութեր

Խորխե Բուկայ
Պատմություններ մտորումների համար

Պաուլո Կոելիո
Մակտուբ

Ծիսական տոնացույց

ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ՄՈՏԵՑՈՒՄՆԵՐ

Մարիա Մոնտեսորի
Ինքնադաստիարակությունը և ինքնուսուցումը կրտսեր դպրոցում

ՏԱՐԲԵՐ ԵՐԿՐՆԵՐԻ ԴՊՐՈՑՆԵՐԸ

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ԴՊՐՈՑՆԵՐԸ

Աշոտ Բլեյան
«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր. ինչպես սկսվեց ամեն ինչ

ՓՈՔՐԵՐՆ ՈՒ ՄԵԾԵՐԸ (մանկավարժական ակումբ)

Մարկոս Էլիոս Ավրելիոս Վերոս
Ինքս ինձ հետ մենակ

Ներկայացնում է Գևորգ Հակոբյանը
Սերգեյ Կապիցա

ԱՐՁԱԳԱՆՔ

Յուրա Գանջալյան
Մխիթար Աբբահոր մեծ առաքելությունը

Յուրա Գանջալյան
Մարկ Բրեյի գիրքը. դիմակայում ստվերային կրթության համակարգին
Մաթեմատիկական ստեղծագործություն [1]

Հոգեբանի համար մաթեմատիկական ստեղծագործության հարցը պետք է կենդանի հետաքրքրություն առաջացնի: Այդ գործողության ընթացքում մարդկային միտքը, ըստ երևույթին, ամենից քիչն է վերցնում արտաքին աշխարհից. այստեղ և´ ազդեցության օբյեկտը, և´ գործիքը նա ինքն է, ամեն դեպքում այդպես է թվում. այդ պատճառով, ուսումնասիրելով մաթեմատիկական մտքի պրոցեսը, իրավունք ունենք ակնկալելու, որ կթափանցենք մարդկային մտքի էության մեջ:

Սա վաղուց էր ընկալվել, և ահա, մի քանի ամիս առաջ պրոֆեսորներ Լեզանի և Ֆերի կողմից խմբագրվող «Մաթեմատիկական կրթություն» ամսագիրը հարցում նախաձեռնեց տարբեր մաթեմատիկոսների աշխատելու հնարների և մտքի սովորույթների վերաբերյալ: Բայց իմ հաղորդումը արդեն հիմնականում պատրաստ էր, երբ հրապարակվեցին այդ հարցումների արդյունքները, այնպես որ, ես չէի կարող դրանցից օգտվել: Միայն ասեմ, որ վկայությունների մեծ մասը հաստատեց իմ եզրակցությունները, չեմ ասում բոլորը, քանի որ երբ հարցը դրվում է ընդհանուր քվեարկության, չի կարելի սպասել պատասխանների միաձայնության:

I

Սկսենք մի փաստից, որը մեզ պետք է զարմացնի, կամ, ավելի ճիշտ, պետք է որ զարմացներ, եթե դրան վարժված չլինեինք: Ինչպե՞ս բացատրենք այն հանգամանքը, որ որոշ մարդիկ չեն հասկանում մաթեմատիկական դատողությունները: Եթե այդ դատողությունները հիմնվում են բոլոր նորմալ մտածողների կողմից ճանաչված տրամաբանության օրենքների վրա, եթե դրանց ակնհայտությունը հիմնվում է սկզբունքների վրա, որոնք բոլոր մարդկանց համար ընդհանուր են, և ոչ մի խելացի մարդ չի փորձի դրանք հերքել, ապա ինչպե՞ս է հնարավոր այդքան շատ մարդկանց գոյությունը, ովքեր անընդունակ են դրանց: Այն, որ ոչ բոլորն են ընդունակ ստեղծագործելու, բոլորովին զարմանալի չէ: Որ ոչ բոլորն են կարողանում հիշել մեկ անգամ արված ապացույցը, սրա հետ էլ կարելի է հաշտվել: Բայց որ ոչ բոլորն են կարողանում հասկանալ մաթեմատկական դատողություններն այն պահին, երբ դրանք շարադրվում են` ահա, թե ինչն է զարմանացնում, երբ սկսում ես այս մասին մտածել: Ընդ որում, մեծամասնություն են մարդիկ, որ շատ դժվարությամբ են միայն կարողանում հետևել այդպիսի դատողություններին. սա անհերքելի փաստ է, և միջնակարգ դպրոցի ուսուցիչների փորձը, հավանաբար, սրան չի հակասի:
Սա էլ դեռ քիչ է. ինչպե՞ս է հնարավոր մաթեմատիկական դատողությունների ժամանակ սխալվելը: Առողջ միտքը տրամաբանական սխալներ թույլ չի տալիս, սակայն երբեմն սուր միտք ունեցողները, որոնք անսխալ են ամենօրյա իրադրություններում կատարվող դատողություններ անելիս, անկարող են դառնում հետևելու կամ անսխալ կրկնելու մաթեմատիկական ապացույցը, որը չնայած երկար է, բայց, ըստ էության, փոքր դատողությունների բազմություն է, որոնք բացարձակ նման են հեշտ ընկալվողներին: Արժե՞ արդյոք ավելացնել, որ լավ մաթեմատիկոսները ևս երբեմն անսխալական չեն:

Պատասխանն ինձ ակնհայտ է թվում: Պատկերացնենք եզրահանգումների երկար շղթա, որտեղ յուրաքանչյուրի եզրակացությունը հաջորդի համար պայման է. մենք ունակ ենք յուրաքանչյուր եզրահանգումը առանձին հասկանալու, և պայմանից եզրակացության անցնելիս սխալվելու վտանգ չկա: Բայց երկու պահերի, երբ առաջին անգամ հանդիպել ենք որևէ եզրահանգման եզրակացություն հանդիսացող նախադասության, և երբ նորից հանդիպում ենք դրան` որպես ուրիշ եզրահանգման պայման, երբեմն բավականին ժամանակ է անցնում, որի ընթացքում հանդիպում ենք շղթայի շատ հատվածների, և կարող է պատահել, որ այդ ընթացքում մենք կամ ամբողջովին մոռացած լինենք այդ նախադասությունը, կամ, որն ավելի վատ է, մոռացած լինենք դրա իմաստը: Այսպիսով, հնարավոր է, որ մենք այն փոխարինենք այլ, նրանից մի քիչ տարբեր նախադասությամբ կամ, պահպանելով դրա բառային ձևակերպումը, մի քիչ այլ իմաստ վերագրենք. երկու դեպքում էլ գուցե սխալվենք:

Հաճախ մաթեմատկոսին հարկ է լինում բազմիցս օգտվելու որևէ կանոնից. առաջին անգամ նա, իհարկե, ապացուցում է դրա ճշմարտությունը. քանի դեռ այդ ապացույցը նրա հիշողության մեջ թարմ ու պարզ է, քանի դեռ նա ճշգրիտ պատկերացնում է այդ կանոնի իմաստը և ընդգրկման լայնությունը, նա դրա կիրառման ժամանակ սխալվելու վտանգ չունի:. Բայց հետագայում, երբ մեր մաթեմատիկոսը շարունակում է կիրառել այդ կանոնը զուտ մեխանիկաբար, այդ դեպքում հիշողության որևէ թերություն կարող է հանգեցնել այդ կանոնի սխալ կիրառմանը: Այսպես, եթե դիտարկենք հասարակ, համարյա ծեծված օրինակ, մենք երբեմն սխալվում ենք հաշվի մեջ այն պատճառով, որ մոռացել ենք բազմապատկման աղյուսակը:
Այս տեսանկյունից` մաթեմատիկական հատուկ ունակությունը պետք պայմանավորված լինի շատ կայուն հիշողությամբ կամ ավելի շուտ` ուշադրության անսովոր լարվածությամբ: Այս հատկությունը կարելի է համեմատել թղթախաղում դուրս եկած քարտերը հիշելու կարողության, կամ, որ ավելի բարդ է, շախմատիստի կողմից մեծ թվով կոմբինացիաներ նախատեսելու և մտապահելու կարողության հետ: Այս տեսանկյունից` յուրաքանչյուր լավ մաթեմատիկոս պետք է նաև լավ շախմատիստ լիներ, և հակառակը. ինչպես նաև մաթեմատիկոսը պետք է ուժեղ լիներ թվային հաշվարկներում: Իհարկե, երբեմն այդպես պատահում է. այսպես, Գաուսը միաժամանակ հանճարեղ երկարաչափ էր և հմուտ ու վստահ հաշվարկող:

Բայց պատահում են նաև բացառություններ. թեև սխալվում եմ, ասելով «բացառություններ», քանի որ այդ դեպքում բացառություններն ավելի շատ կլինեն, քան կանոնին համապատասխանողները: Հակառակը, հենց Գաուսն է բացառություն: Իսկ ինչ վերաբերում է, օրինակ, անձամբ ինձ, ապա պետք է խոստովանեմ, որ առանց սխալվելու չեմ կարողանում գումարել: Նմանապես, ինձանից վատ շախմատիստ կստացվեր. ես, հնարավոր է, լավ կհաշվարկեի, որ այս քայլերն անելով` այսպիսի վտանգների կհանդիպեի, կվերլուծեի էլի ուրիշ տարբերակներ, որոնք նույնպես ինչ-որ պատճառներով կմերժեի, բայց ի վերջո, հավանաբար, կանեի արդեն դիտարկված մի քայլ, մոռանալով այն վտանգները, որ արդեն կանխատեսել էի:
Մի խոսքով, հիշողությունս վատը չէ, բայց բավարար չէ, որ լավ շախմատիստ դառնայի:

Իսկ ինչո՞ւ այն ինձ չի դավաճանում մաթեմատիկական բարդ դատողությունների ժամանակ, երբ շախմատիստների մեծամասնությունը գլուխը կկորցներ: Ակնհայտ է՝ այն պատճառով, որ այս դեպքում իմ հիշողությանը ղեկավարում է դատողությունների ընդհանուր ընթացքը: Մաթեմատիկական ապացույցը ինչ-որ եզրահանգումների խառը կույտ չէ, եզրահանգումները դասավորված են որոշակի կարգով, ընդ որում տարրերի դասավորության այդ կարգն ավելի կարևոր է, քան իրենք տարրերը: Եթե զգացողություն ունեմ (այսպես ասած` այդ կարգի ինտուիցիա), որ կարող եմ աչքի առաջ ունենալ բոլոր դատողությունները` որպես մի ամբողջություն, հարկ չկա վախենալու, որ կմոռանամ տարրերից որևէ մեկը. նրանցից յուրաքանչյուրը կգրավի իրեն հատկացված տեղը առանց իմ կողմից հիշողության որևէ լարման:
Այնուհետև, երբ կրկնում եմ յուրացրած ապացույցը, ինձ թվում է, որ ինքս էլ կարող էի այն հորինել. հնարավոր է, որ հաճախ դա միայն թվում է. բայց եթե ես այդքան ուժ չունեմ էլ այդ ապացույցը գտնելու, գոնե ամեն անգամ ստեղծում եմ այն, երբ կրկնելու հարկ է լինում:

Հասկանալի է, որ այդ զգացողությունը, մաթեմատիկական ինտուիցիայի այդ տեսակը, որի շնորհիվ կռահում ենք թաքնված հարաբերությունները և ներդաշնակությունները, չի կարող պատկանել բոլոր մարդկանց: Մի մասը չունի ոչ այդ նուրբ, դժվար գնահատելի զգացողությունը, ոչ հիշողության և ուշադրության միջին մակարդակ, և այդ դեպքում նրանք ի վիճակի չեն լինում հասկանալու փոքր-ինչ դժվար մաթեմատիկական տեսությունները: Մյուսները, ունեն այդ զգացողության ցածր աստիճան, բայց օժտված են եզակի հիշողությամբ և ուշադրության մեծ կարողությամբ: Նրանք անգիր հիշում են մասնավոր դեպքերը՝ մեկը մյուսի ետևից, նրանք կարող են հասկանալ մաթեմատիկական տեսությունը և երբեմն նույնիսկ կիրառել, բայց նրանք ի վիճակի չեն ստեղծելու: Վերջապես, երրորդները, ովքեր շատ թե քիչ օժտված են այդ հատուկ ինտուիցիայով, որի մասին քիչ առաջ խոսում էի, ոչ միայն կարող են հասկանալ մաթեմատիկան, չունենալով հատուկ հիշողություն, այլև նրանք կարող են ստեղծագործող լինել, և նրանց նորի որոնումների հաջողությունը կախված է նրանց ինտուիցիայի զարգացածության աստիճանից:
 

Ի՞նչ է իրականում մաթեմատիկական ստեղծագործությունը: Այն արդեն հայտնի մաթեմատիկական օբյեկտների միջոցով նոր զուգորդությունների ստեղծումը չէ: Դա ով ասես կարող է անել. բայց այդ ճանապարհով գտնվող զուգորդությունների քանակն անվերջ է, և դրանց շատ մեծ մասը ոչ մի հետքրքրություն չէր ներկայացնի: Ստեղծագործելն այն է հենց, որ անօգուտ զուգորդություններ չկազմես, այլ կազմես միայն նրանք, որոնք օգտակար են, իսկ դրանք շատ քիչ են: Ստեղծագործել` կնշանակի տարբերել, ընտրել:
Թե ինչպես կարելի այդ ընտությունը կատարել` ես բացատրել եմ մեկ այլ տեղում. մաթեմատիկայում ուսումնասիրության արժանի փաստերը նրանք են, որոնք ուրիշ փաստերին իրենց նմանությամբ կարող են հասցնել մաթեմատիկական օրենքի հայտնագործման, բոլորովին նման նրան, ինչպես փորձարարական փաստերը ֆիզիկայում հանգեցնում են ֆիզիկական օրենքի բացահայտմանը: Դրանք հենց այն փաստերն են, որոնք նմանություն են ցուցաբերում վաղուց հայտնի ուրիշ փաստերի հետ, բայց սխալմամբ համարվել են իրար օտար:
Այն զուգադրումներից, որոնք ընտրում ենք, ավելի հաճախ արդյունավետ են լինում նրանք, որոնց տարրերը վերցված են իրարից հեռու բնագավառներից: Չեմ ցանկանում ասել, որ նոր հայտնագործության համար բավական է մոտեցնել խորապես տարբերվող առարկաներ. նման ձևով կառուցված զուգադրումների մեծամասնությունը լրիվ անպտուղ կլիներ, բայց մի քանիսը, իհարկե, շատ քչերը, ամենաարգասավորն են լինում:
Ստեղծագործել, հայտնագործել, ինչպես ասացի, նշանակում է ընտրել. բայց, թերևս, այս բառը ամենահարմարը չէ: Այն պատկերացում է առաջացնում գնորդի մասին, ում առաջարկում են օրինակների մեծ քանակություն, և ընտրություն կատարելու համար նա մեկը մյուսի ետևից փորձում է դրանք: Այստեղ օրինակների քանակը այնքան մեծ կլիներ, որ ամբողջ կյանքն էլ չէր բավականացնի դրանք փորձելու համար: Բայց իրականում դա այլ կերպ է լինում: Հայտնագործողի մտքում անպտուղ զուգադրումներ չեն էլ ծնվում: Նրա գիտակցությունում հայտնվում են միայն իսկապես օգտակար զուգադրումները, և էլի մի քանիսը, որոնք նա, իհարկե, մի կողմ կթողնի, բայց դրանք էլ զուրկ չեն օգտակար զուգադրումների բնույթից: Ամեն ինչ այնպես է տեղի ունենում, կարծես հայտնագործողը երկրորդ աստիճանի քննող է, ով գործ ունի միայն այն թեկնածուների հետ, ովքեր հաջողությամբ անցել են առաջին փորձությունը:

Շարունակությունը
 

Ռուսերենից թարգմանեց Գևորգ Հակոբյանը

[1] Այս զեկուցումը ֆրանսիացի մաթեմատկոս-ֆիզիկոս Անրի Պուանկարեն կարդացել է Փարիզի Հոգեբանական ընկերությունում: Ես թարգմանել եմ նրա «Գիտություն և մեթոդ» գրքից:

Բացվել է 256 անգամ
???????@Mail.ru ՍԿԻԶԲ | ԱՐԽԻՎ | ԽՈՐԱԳԻՐ | ԿԱՊ

© 2007-2010 «ՄԽԻԹԱՐ ՍԵԲԱՍՏԱՑԻ» ԿՐԹԱՀԱՄԱԼԻՐ